部分分式展开

复根

若分母的因子中存在复根，复根总是共轭成对出现的，因此可以当做单根来进行处理。另外就是复根的系数也是共轭对称的，即

F(x)=N(x)(x−x1)(x−x1∗)=k1x−x1+k1∗x−x1∗

\begin{aligned}

F(x) &= \frac{N(x)}{(x-x_1)(x-x_1^*)}\\

&= \frac{k_1}{x-x_1} + \frac{k_1^*}{x-x_1^*}

\end{aligned}

F(x)​=(x−x1​)(x−x1∗​)N(x)​=x−x1​k1​​+x−x1∗​k1∗​​​

为避免复根，还可以将共轭复根只分解到二次因式的形式，如

F(x)=N(x)[(x+a)2+b2](x−x3)=Ax+B(x+a)2+b2+k3x−x3

\begin{aligned}

F(x) &= \frac{N(x)}{[(x+a)^2+b^2] (x-x_3) }\\

&= \frac{Ax+B}{(x+a)^2+b^2} + \frac{k_3}{x-x_3}

\end{aligned}

F(x)​=[(x+a)2+b2](x−x3​)N(x)​=(x+a)2+b2Ax+B​+x−x3​k3​​​

其中，单根的系数 k3k_3k3​ 求法同上。

对于二次因式的系数，求法需要一定的技巧性，

如上式中，求解出 k3k_3k3​ 后，令 x=0x=0x=0，得 F(0)=Bb2−k3x3F(0)=\frac{B}{b^2}-\frac{k_3}{x_3}F(0)=b2B​−x3​k3​​ 求解出的 BBB，再令 x=+∞x = +\inftyx=+∞，求解出 AAA。